Fellner nació en Galway, Irlanda de padres británicos, Vaughan Fell y Ruth Fellner. Después de que sus padres se divorciaron, la madre de Rosie ella y sus hermanos viajaron primero a Francia y luego a Portugal, antes de asentarse finalmente en Málaga, en el sur de España. Allí aprendió a hablar con fluidez en la escuela secundaria española. Interpretó a Hermia en su primer trabajo profesional de teatro en el Teatro Real, de Plymouth. A los 15 años, se unió a sus hermanos mayores, Seth y Mojo, en una gira por Europa con la TURBOZONE Internacional Circus Company como acróbata. Después de eso, se le ofreció un lugar en la Escuela de Teatro de concentradores en Cornualles y luego en la Escuela de Actuación de Londres.

Fellner está casada con el director y socio de Rosebud Fotos, Adrian Vitoria. Como equipo, la pareja ha trabajado en varios proyectos juntos, incluyendo la película de robo británica, The Crew, que protagonizó Fellner, junto con Stephen Graham y Rory McCann.

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